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用直观的方法理解抽象的观点——线性相关(线性代数)

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但是我们已经证明了另外两个解是4 (v_1) 4 (v_2)=2 (w)和2 (v_1) 2 (v_2)=w,这意味着它们不是平凡解。

回到TINT,假设我给你红色、蓝色和黄色颜料。这些颜色有关系吗?有什么办法可以把两种颜色混淆得到第三种颜色?不。再多的红色和黄色也不会产生蓝色,只会产生深浅不同的橙色。同样,再红再蓝,你也永远不会变黄。所以我们称这三种颜色相互独立(线性独立)。

解决这个问题的一种方法是想象从混淆的色素中去除一定量的色素。那么我们可以把紫色表示为1(红色),蓝色表示为1(紫色)-1(红色)。这意味着用紫色油漆去除红色油漆的部门会留下蓝色。

线性相关和线性独立的扩展空间基中每种颜色的比例也可以不同,不仅仅是1:1的比例。如果我给你红色、白色和浅粉色的颜料,你可能需要1份红色和16份白色才能得到特定的粉色。这些颜色仍然是相互依赖的,即使红色和白色颜料的组合不是50-50。

我假设你熟悉向量的表示,向量的加法,线性组合的观点。

颜色类比:线性相关。虽然线性相关和线性无关通常不这样解释,但是深入了解对方还是很有帮助的。它扩展了你对线性代数的理解。这就像看着地平线上一幅深红色的夕阳和一条黑暗的河流。你会惊讶于画家在绘画中使用的成千上万种颜色。或者你可能会注意到,他们在整个课程中只使用红色、黄色和蓝色。

红蓝=紫色如果我比较抠门,想在颜料上省钱,我只能买红蓝颜料而不是红蓝紫,因为我可以把红蓝颜料混在一起得到紫色颜料。所以你可能会说“相互依赖”的效果是至少有一种颜色是不必要的(在这个例子中是紫色)。

有点禁止用TINT来类比线性相关问题。这里我们需要解释一下,红色和蓝色是紫色的,但是紫色和蓝色不是红色。然而,在线性相关向量中,任何向量都可以表示为其他向量的组合。

1股息16分白色=非常浅的粉红色。在这种情况下,如果v_1和v_2乘以2,则向量w通过将它们相加而获得。

答案是肯定的。对于w的任意倍数,比如(4,4),我可以取4 (v1) 4 (v2)得到2w。这种情况下,c=4,c=4,c3=2。您可能已经注意到,下面的等式也成立:

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